一般人の徒然

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日々気になったことをジャンル問わず、幅広く考えていきます。

一般人の徒然

【マイナスの掛け算】-1 × (-1) = 1 を考察してみる

 

昨晩お風呂に入っているときふと思いました。

 

-1 × (-1) = 1

  

今まで当たり前に受け入れてきたけどなんだこれ?

 

3 × 2 は3を2回足したものだから、この場合は-1を-1回足して・・・

 

 

 ん?

 

 

そもそも定義って言われたらそれまでだけど・・・

 

う〜ん、分からん!

 

中学時代これを習ったときは全くもって疑問に感じませんでした。

 

時刻は23時22分。

次の日は朝6時起床予定・・・。

 

でもこのままでは気になって眠れない!

 

 

というわけで小さい脳みそと目の前にある文明の利器をフル活用して考えてみました (ほとんどは文明の利器頼りだったり)。

 

 

【目次】 

 

 

帰納的に導いてみる。

-2の掛け算を見てみましょう。

  -2 × 1 = -2

  -2 × 2 = -4

  -2 × 3 = -6

このように掛ける数字を1増やしていくと結果が2減っていることが分かります。

下から上に見ていくと掛ける数字を1減らしていくと結果は2増えています

 

ということは・・・

 

  -2 × 1 = -2

  -2 × 0 = 0

 -2 × (-1) = 2

 -2 × (-2) = 4

掛ける数字を1減らすと結果は2増えることからこのような結果が出ます。

-2 × (-1) = 2 から「マイナス × マイナスがプラスになる」ことが導かれました。

 

 

言葉から考察してみる。

数式を眺めていても正直訳が分からなくなるのでもうちょっと具体化して考えてみることにします。

最も正負が分かりやすい単位はお金と時間です。

お金は収益をプラス、損失をマイナスとします。

一方時間は進む方向をプラス、戻る方向をマイナスとして考えてみましょう。

 

1分10円の電話を3分間かけたとき、3分前の財布の中身は今よりいくら多かったのか。

現実に即して考えれば、10 × 3 = 30 円 使用料としてかかったのだから「30円多かった」と答えることができます。

これを上記のルールに当てはめて考えてみると

1分10円の電話→1分10円の損だから負。

3分前→時間が戻っているから負。

これを数式化してみると

-10 × (-3) = ? となり、これが先程導き出した「30円多かった」と等しくなるはずなので、-10 × (-3) = 30 を得ることができます。

これにより「マイナス × マイナスがプラスになる」ことが導かれました。

 

 

既知の数式から導き出す。

最後は数式をごちゃごちゃして導いてみましょう。

まずは自明の式である 0 = 0 からスタートします。

0 = 0

1 + (-1) = 0

両辺に -1 を掛けて

(-1) × {1 + (-1)} = (-1) × 0

(-1) × 1 + (-1) × (-1) = 0

両辺に1を足して

1 + (-1) × 1 + (-1) × (-1) = 1

これを整理すれば

(-1) × (-1) = 1

となります。

 

ちなみにこの証明自分で考えたわけではなくて

 

感動する! 数学 (PHP文庫)

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この本に載っているものを参照しました。

身近な数の不思議から数学の最先端まで面白く分かりやすく書いてあって非常におすすめです。

数学に興味がある中学生高校生、最近数学のモチベーションが上がらない受験生には是非とも読んで欲しい1冊です。

 

 

まとめ

調べてみると色々と証明があるみたいで驚きました。他にも証明があるのか時間があるときに調べてみたいと思います。

 

というか数学ってやっぱり難しいですよね・・・。

ε-δ論法ごときすら理解できなかった人間としては数学が得意な人は本当に尊敬します。

数学科の人が頑張って最先端の数学を解いていってくれている間に自分はピタゴラスの数学と戯れてようかな。。。

 

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